解決旋轉問題， 分類討論在旋轉的題型中尤為常見，因為旋轉本身可分為順時針和逆時針，旋轉又往往結合直線、射線、線段等，都是要分類討論的點。尤其題目已知對應點或旋轉方向不確定時，就可能存在多種情況，求解時應根據可能存在的情況進行分類討論。
經典考題
一、旋轉位置不確定
1．（2019秋襄陽期末）如圖，將一個8cm×16cm智屏手機抽象成一個的矩形ABCD，其中AB＝8cm，AD＝16cm，然後將它圍繞頂點A逆時針旋轉一週，旋轉過程中A、B、C、D的對應點依次為A、E、F、G，則當△ADE為直角三角形時，若旋轉角為α（0＜α＜360°），則α的大小為______．
【解析】由摺疊的性質可得AE＝AB＝8cm，∠EAB＝α，利用兩種情況討論，由旋轉的性質可求解．
由摺疊可得AE＝AB＝8cm，∠EAB＝α，
若∠AED＝90°時，
∵cos∠DAE＝AE/AD=8/16=1/2，∴∠DAE＝60°，
當AE在AD右側時，∠EAB＝∠DAB﹣∠DAE＝30°，
當AE在AD左側時，∠EAB＝∠DAB+∠DAE＝150°，∴α＝30°或150°
若∠DAE＝90°時，∴∠EAB＝∠DAB+∠DAE＝180°，
故答案為：30°或150°或180°
2．（2019秋巴彥縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E在CD上，CE＝1，將線段AE繞點A旋轉，使點E落在直線BC上的點F處，連線DF，則DF的長為______．
【解析】一般我們在涉及到旋轉的題目的時候，要考慮到旋轉可分為順時針旋轉和逆時針旋轉，這道題這個因素不是主要的影響因素，而是其中的一個單詞“直線”，就這道題而言，E可能線上段BC上，或者在CB延長線上，或者BC延長線中，具體要根據畫出影象來定。
分類討論：當點F落在邊BC上時，如圖，利用正方形的性質得AB＝AD＝4，∠ABF＝∠D＝90°，利用旋轉的性質得AF＝AE，則可證明Rt△ABF≌Rt△ADE，所以BF＝DE＝3，於是得到CF＝BC﹣BF＝1，由勾股定理可求DF的長；
當點F落在BC的延長線上的點F′時，如圖，同樣可證明Rt△ABF′≌Rt△ADE，得到BF′＝DE＝3，則CF＝BC+BF′＝7，由勾股定理可求DF的長，即可求解．故可求答案為：√17或√65；
變式．（2019秋信陽期末）如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD繞點A順時針旋轉，當點D落在射線CB上的點P處時，那麼線段DP的長度等於______．
【解析】如圖，當矩形ABCD繞點A順時針旋轉，當點D落在射線CB上的點P處時，利用旋轉的性質得AP＝AD＝5，再利用勾股定理計算出BP＝4，則PC＝1，接著利用勾股定理計算出DP的長；當矩形ABCD繞點A順時針旋轉，當點D落在射線CB上的點P′處時，利用同樣的方法可計算出DP′的長．
綜上所述，可求線段DP的長度為√10或3√10．
3．（2018秋無為縣期末）如圖，正方形ABEF與正方形BCDE有一邊重合，那麼正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF繞點O旋轉得到的，則圖中點O的位置為_______．
【解析】由旋轉的性質分情況討論可求解；
∵正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF繞點O旋轉得到的，
∴若點A與點E是對稱點，則點B是旋轉中心是點B；
若點A與點D是對稱點，則點B是旋轉中心是BE的中點；
若點A與點E是對稱點，則點B是旋轉中心是點E；
故答案為：點B或點E或線段BE的中點．
變式．（2019秋東湖區校級月考）如圖，將一個8cm×16cm智屏手機抽象成一個矩形ABCD，其中AB＝8cm，AD＝l6cm，現將正在豎屏看影片的這個手機圍繞它的中心R順時針旋轉90°後改為橫屏看影片，其中，M是CD的中點，則圖中等於45°的角有______個．（按圖中所標字母寫出符合條件的角）
【解析】利用正方形的性質，等腰直角三角形的性質一一判斷即可．
如圖，連線OR，PR，EG，FH，AC，BD，ED，DG，GB，BE，CH，AH，AF，FC，DH，CG，BF，AE．
由題意圖中有兩個正方形，正方形AHCF，正方形DEBG，由此可得16個45°角，圖中有等腰三角形三個，△OMH，△PGM，△ORP，由此可得6個45°角，圖中∠DHG＝45°，這樣的角有8個，所以一共有16+6+8＝30（個），故答案為30．
4．（2019秋香坊區校級月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，將邊AC繞點A旋轉90°得到線段AD，則tan∠DCB的值為_____．
【解析】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵。
如圖，根據旋轉的性質得到AD＝AD′＝AC，∠CAD＝∠CAD′＝90°，推出D′，A，D三點共線，得到△D′CD是等腰直角三角形，∠D′＝∠D＝45°，求得∠D′CD＝90°，延長AB交CD′於E，過E作EF⊥AD′於F，根據勾股定理得到AC＝√5，求得AD′＝√5，設D′F＝EF＝x，根據相似三角形的性質得到EF＝√5/3，AF＝2√5/3，根據三角函式的定義即可得到結論．
綜上所述，tan∠DCB的值為1/3或3，
5．（2019秋楊浦區期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，點D，E分別在邊BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝4，將△BDE繞點B旋轉至△BD1E1，點D、E分別對應點D1、E1，當A、D1、E1三點共線時，則CD1的長為______．
【解析】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識，利用分類討論解決問題是本題的關鍵。
如圖1，當點D1線上段AE1上，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，BC＝√3AC＝4√3，
∵將△BDE繞點B旋轉至△BD1E1，∴D1B＝4＝DB，∠BD1E1＝90°，
∴有勾股定理可求得AD1＝4√3，∴AD1＝BC，且AC＝BD1，
∴四邊形ACBD1是平行四邊形，且∠ACB＝90°，
∴四邊形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝8，
∴如圖2，當點D1線上段AE1的延長線上，
∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，
∴點A，點B，點D1，點C四點共圓，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，
∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）
∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，
∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝8，
綜上所述：CD1＝4或8，
6．（2018秋唐縣期末）已知A、B是線段MN上的兩點，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC．設AB＝x，請解答：
（1）x的取值範圍_______；
（2）若△ABC是直角三角形，則x的值是________．
【解析】（1）∵MN＝4，MA＝1，AB＝x，
∴BN＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
由旋轉的性質得，MA＝AC＝1，BN＝BC＝3﹣x，
7．（2019秋新鄉期末）實驗探究：
如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交於BD、CE點P．
【問題發現】
（1）把△ABC繞點A旋轉到圖1，BD、CE的關係是________（“相等”或“不相等”），請直接寫出答案；
【類比探究】
（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC繞點A旋轉，當∠EAC＝90°時，在圖中作出旋轉後的圖形，並求出此時PD的長；
【拓展延伸】
（3）在（2）的條件下，請直接寫出旋轉過程中線段PD的最小值為 ．
【分析】（1）把△ABC繞點A旋轉到圖1，根據旋轉的性質，可以證明△ABD≌△ACE，即可得BD、CE的關係；
（2）把△ABC繞點A旋轉，當∠EAC＝90°時，分兩種情況在圖中作出旋轉後的圖形，進而求出此時PD的長；
（3）根據旋轉的性質即可知旋轉過程中線段PD的最小值．
【解答】：（1）BD、CE的關係是相等．
理由：∵△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，
∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案為：相等．
（2）如圖2，3即為旋轉後的圖形．
①如圖2，當C在AD上時，
由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC
又∵∠PCD＝∠ACE，
二、對應點不確定
8．（2019秋新昌縣期末）在平面直角座標系中，把點P（3，4）繞原點旋轉90°得到點P1，則點P1的座標是（）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4）
C．（﹣3，4）或（3，﹣4） D．（﹣4，3）或（4，﹣3）
【解析】利用圖象法，畫出圖形即可解決問題．如圖點P點P（3，4）繞原點旋轉90°得到點P1（﹣4，3），P2（4，﹣3）．
故選：D．
9．（2019秋新泰市期末）如圖，A點的座標為（0，4），B點的座標為（4，2），C點的座標為（6，2），D點的座標為（4，﹣2），小明發現：線段AB與線段CD存在一種特殊關係，即其中一條線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段，你認為這個旋轉中心的座標是______ ．
【解析】對應點連線段的垂直平分線的交點即為所求．
如圖，旋轉中心為P（2，0）或（5，5）．
故答案為（2，0）或（5，5）．
10．（2020武漢模擬）如圖，Rt△ABC的三個頂點的座標分別為A（﹣3，2）、B（0，4）、C（0，2）．
（1）將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉後對應的△A1B1C．平移△ABC，若A對應點A2的座標為（0，﹣4），畫出平移後對應的△A2B2C2；
（2）若將△A1B1C繞某一點旋轉得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的座標為_____．
（3）在x軸上找一點P，使得直線CP將△ABC的面積分為1：3，直接寫出P點的座標為_______．
【解析】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等於旋轉角，對應線段也相等，由此可以透過作相等的角，在角的邊上擷取相等的線段的方法，找到對應點，順次連線得出旋轉後的圖形．也考查了平移變換．
（1）如圖，△A1B1C1為所作；，A1（﹣4，4），B1（﹣1，1），C1（﹣3，1）；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；
總結反思
分類討論是初中數學中很重要的一個思想，也是學生比較難掌握的一點。
首先：同學們要熟練掌握知識點，如點與圓，直線與圓的位置關係在授新課的時候老師就講過要分類，如何分類；
其次：同學們在做到這類題的時候，要提高自己的敏感度，抓住一些關鍵詞，如“旋轉、直線、相切、等腰”等；
然後：同學們在複習的過程中，有針對性地做一些經典的題目；還有很多同學做不來分類討論的題是因為畫不出那種情況下所形成的影象，所以這要求學生平時要注意培養自己的平面想象能力，平時自己多畫圖，培養自己的畫圖能力，可以藉助幾何畫板等軟體去提高。
所以在平時解答圖形變換過程中，應學會利用備用圖來打草稿，即用它多畫上幾次旋轉後的圖形，用於彌補想象力之不足，或者記錄結果。實踐表明，平時能形成了良好習慣的學生，使用最“笨”的方法去挨個作圖，此類題最終也能解，其實並不需要作全部，作個一兩個，過程就基本瞭解了。而此題解答失敗的學生中，不考慮空白卷，已經作答的學生，作圖習慣差的往往困難最大，他們在課堂上或許很認真在看老師作圖，演算，但自己手中的筆未動，腦子未轉，僅僅動用了聽力，而正是這類學生，反覆出現“一講就會，一做就錯”，屬於假努力。因此有必要求解幾何問題時加強話草圖思考推理的習慣。