避開切線判定的小陷阱關鍵在於深刻理解直線與圓的位置關係

在直線與圓的三種位置關係中，直線與圓相切經常出現在壓軸題的證明過程中，由於平時教學過程中，相關例題和習題的難度普遍較低，許多學生便認為自己“掌握”了切線的判定，殊不知，題目文字描述稍加變動，理解不夠深的就容易出現偏差，落入題目設定的陷阱，恰恰那些自以為掌握了的學生，連錯誤都發現不了，更談不上正確解答，甚至在老師講完題目，腦子裡都沒回過神。

題目

如圖，拋物線y=（x+m）+m與直線y=-x交於E、C兩點（點E在點C左邊），拋物線與x軸交於A、B兩點（點A在點B左邊），△ABC的外接圓⊙H與直線y=-x交於點D。

（1）若拋物線與y軸交點為（0，2），求m的值；

（2）求證：⊙H與直線y=1相切；

（3）若DE=2EC，求⊙H的半徑。

解析：

（1）從來感覺第1小題就是送分題，貌似這次也是，且慢！前方有坑。基本操作是將點座標（0，2）代入二次函式解析式，然後得到一個於關於m的一元二次方程，解得m1=1，m2=-2，到底取哪個？再次觀察題目條件和圖形，接下來兩條路可選，第一，看拋物線，要想它與x有兩個交點，由於它本身開口向上，因此頂點必須在x軸下方，二次函式本身就給的是頂點式，可直接得到頂點座標（-m，m），所以判斷m=-2；第二，拋物線與x軸有兩個交點，還能聯想到判別式，將函式解析式化成一般式，求△同樣達到目的。

（2）判斷直線與圓的位置關係，按定義，分別求出圓心到直線的距離d和半徑r，然後比較二者大小即可。基於這個思路，我們可作出拋物線的對稱軸，猜測點C、H應該在這條直線上。下面來驗證，如下圖：

輔助線的作法很關鍵，但先要解決一個問題，即點C是否為拋物線頂點，題目條件中只告知點C是直線與拋物線的交點，由這句話出發，聯立方程（x+m）+m=-x，整理得x+（2m+1）x+m（m+1）=0，解得x1=-m，x2=-m-1，由點E、C的位置關係可知兩點座標分別為E（-m-1，m+1），C（-m，m），於是確定點C為拋物線頂點。現在過點C作CF⊥AB，根據作法，CF一定是拋物線對稱軸，△ABC為等腰三角形，接著解決點H是否在CF上的問題，點H為圓心，點A、B在圓上，因此點H到A、B兩點的距離相等，即點H在AB的垂直平分線上，即H在CF上，CF與y=1交於點F，此時圓心到直線y=1的距離即為HF，半徑為CH，現在目標明確，證明CH=HF即可。

設CH=AH=r，HF=d，由點C座標先表示CF=1-m，則d=1-m-r

，GH=-m-r，拋物線與x軸兩個交點A、B座標可表示，並求得AB=2√-m，於是在Rt△AGH中，由勾股定理列式AH=GH+AG，將上述表示出的結果代入，得r=（-m-r）+（√-m），整理得m=1-2r，再代入距離d中，得d=1-（1-2r）-r=r，由此可知⊙H與直線y=1相切。

（3）直線y=-x的特殊之處在於，它與拋物線對稱軸的夾角為45°，於是可以構造出等腰直角三角形，例如△CDF，而在上一小題中，我們可知CF為直徑，即點H為CF中點，於是DH為其斜邊上的中線，又是三線合一，因此DH⊥CF，上述準備工作完成後，我們來看條件DE=2EC，在第2小題中，我們已經獲得E點和C點座標，於是過點E也向CF作垂線EM，如下圖：

現在我們得到等腰直角△CEM和等腰直角△CDH，由縱座標之差為1得到CM=1，於是CE=√2，DE=2√2，所以CD=3√2，最後得到CH=3，即半徑為3。

解題反思

關於直線與圓相切的判定，其實最根本的莫過於用定義來判定，即d=r，在題目圖中並沒有給出點F的前提下，學生思維很容易陷入那兒就有一個交點，更進一步那個交點就是切點，先入為主地把點F給確定了，因此很多錯誤在於“連線CF，使CF與y=1垂直”，或者“作y=1的垂線CF，且點F剛好在圓上”，呈現出思維上的混亂。而本題中，還存在更多幹擾，例如點C是否為頂點，圓心H是否在對稱軸上等等，一個不留神，這些陷阱便會導致解題錯誤。因此對於平時教學來講，概念和定義的教學一定要讓學生深刻理解，經歷概念形成的過程，才能真正理解。在這種課型中，避免“短平快”式的教學方式。