01第五公設涉及的是平行線，說的是：如果一直線和兩直線相交，那麼所構成的兩個同側內角之和小於兩個直角。若把兩直線延長，它們肯定會在兩內角的側面相交。當時的數學家們對此並不質疑，認為這個不像是公設，倒像是個可以證明的定理。不過歐幾里得沒有找到證明，這才將此列入公設。為了完成歐幾里得沒有完成的工作，歷代數學家無不為之奮鬥，將畢生的心血投入進去，用盡所有辦法都沒能成功。1815年，羅巴切夫斯基是這年開始著手研究的平行理論，作為數學家，他自然也走過前人走過的彎路。結果可想而知，必然是失敗的，這次透過父親的告誡，他意識到，既然這樣證明不了，為何不從反方向去證明？“很有可能不存在什麼第五公設的證明！”他開始尋找第五公設不可證明的方法，前人數學家都在如何證明它的存在，而羅巴切夫斯基卻尋找不可證明它的方法。

得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交。”接著用這個否定命題和其他公理公設，組合成新的公理系統展開推算。事實證明，在過程中並沒有任何矛盾，這個新公理系統構成的新的幾何，完全可以和歐幾里得幾何相媲美。031826年，他在一場學術會議上宣讀了一篇論文，這篇論文標誌著非歐幾何的誕生，這個“平行線也可以相交”的成果問世，立刻遭到幾乎所有數學家的質疑。當時會議裡有諸多出名的數學家，例如西蒙諾夫、博拉斯曼等，他們原本非常看好羅巴切夫斯基的演講。可當羅巴切夫斯基一開口，這些莫名其妙的話實在讓人難以理解。諸如銳角一邊的垂線和另一邊不相交……三角形的內角和小於兩直角……平行線也可以相交……

未曾想就連這樣的權威機構也沒能理解他的論文，不理解也無可厚非，他們竟然用極其挖苦的語言來指責和攻擊羅巴切夫斯基。04在後期發展和創立非歐幾何的過程中，羅巴切夫斯基經歷了太多，直到去世前兩年，都還有人在抨擊他。包括德國著名數學家高斯，他也對羅巴切夫斯基的成果持反對意見，當然並不是高斯不看好，而是因為怕支援他會給自己帶來麻煩。因為在羅巴切夫斯基剛出生的那年，高斯就已經產生了非歐幾何的思想，只是他將這個叫“反歐幾何”，結果怕數學界的反對影響自己的聲譽，便一直不敢公佈這一發現。高斯雖然沒有公開支援，但是在私底下對朋友宣稱，羅巴切夫斯基是俄國最卓越的數學家之一！為此，高斯苦學俄語，就是為了能夠閱讀羅巴切夫斯基所有的非歐幾何論文。