代數基本定理斷言任意݊n（n＞0）次復係數多項式方程在複數域中至少有一個根， 事實上，有許多等價的陳述方式，例如，每個݊n（ n> 0）次復係數多項式在複數域上一 定有一個一次因式，它是代數學中非常重要且基礎的一個定理。
代數基本定理演化
17 世紀的代數方程 論開始於方程根的數目究竟有多少的問題，吉羅拉莫·卡爾達諾是第一個意識到三次方程可能有三個根，四次方程可能有四個根等，曾指出實係數方程的復根是成對出現的，並引入負數的平方根，但是隻考慮正根， 而不考慮負根。
1629年荷蘭數學家阿爾伯特∙吉拉德在“代數的新發明”一書中斷言，如果把虛根考慮在內，並按重數計算重根的數目，則݊n次代數方程有݊n個根，吉拉德首次將負數與正數等量齊觀並承認復根，雖未能給出證明，但克服了大多數不願將複數根視為合理的情況。
1637 年勒內·笛卡爾在他的“幾何學”第三卷中推 測每個方程根的數目等於未知數的維數，與吉拉德的說法類似，但是對笛卡爾來說， 虛根從來不對應任何實數，摒棄了復根。
從 16 世紀初到17世紀中葉的方程理論中， 缺少對“虛量”的精確表述，對於線性因子分解和根的數目的一般陳述並非代數基本定理。
18 世紀初，約翰·伯努利和戈特弗裡德·威廉·萊布 尼茨的工作構成了代數基本定理史的起點。
伯努利在1702 年的文章“關於積分學問題的解答”的開頭得出一個結論：有理微積分總是可以約化為雙曲線的求積（如果對數是實的）或圓的求積（如果對數是虛的）。但是他沒有給出一般證明，萊布尼茲透過舉例積分：
同時依賴於雙曲線和圓的求積，並指出只要有理分式的分母分解成一次或二次實因式，就會有一個與圓或雙曲線求積相同的相依積分，並提出了代數基本定理問題：即每一個實係數多項式都能分解成線性因式的乘積或分解成實係數的 一次因式和二次因式之積。但是萊布尼茨否定了問題的答案，並以：
為例，認為不能對所有的多項式得到這樣的實因式解。這樣就開啟了一段圍繞實係數多項式能分解成線性因式的乘積為主題的工作。
對於方程根的存在性問題的普遍關注是在十八世紀，
代數基本定理的第一次證明通常歸功於法國數學家讓·勒朗·達朗貝爾
，他在1746 年詳細闡述了此定理，並於 1748年出版。1749年瑞士數學家萊昂哈德·尤拉發表了一個與達朗貝爾截然不同的證明，在接下來的幾十年裡，弗朗索瓦·戴維，約瑟夫·拉格 朗日，以及皮埃爾-西蒙·拉普拉斯等人給出了代數基本定理的其他代數證明方法。
直到1799 年，冠以“數學王子”稱號的德國數學家約翰卡爾·弗里德里希·高斯在赫爾姆施泰特寫的博士論文《每個單變數的整有理代數函式均可分解為一次和二次實因式積的新證明》中才首次給出代數基本定理較嚴格的證明，它包含了對達朗貝爾、尤拉、戴維、拉格朗日的工作的批評，然後運用幾何方法給出自己的證明，該證明為數學中證明存在性問題提供了創新思想。
高斯在後來的1815 年、1816 年、1849 年又分別給出代數基本定理的另外三個證明，1815年給出的是完全依賴於代數原理的證明，1816 年給出的是純粹解析性的證明，1849年的證明是為紀念其獲得博士學位 50 週年而作，將第一次證明擴充套件到複數域。高斯一 生中對代數基本定理提供了四個不同的證明，涵蓋其整個成年生活的五十年的時間跨度。
自高斯的博士論文揭示了前期數學家證明的不足之後，關於此定理的證明便接踵而至，義大利數學史學家吉諾·洛里亞於1891年整理了一份 從1749 年（達朗貝爾）至 1891年期間將近80位數學家證明基本定理的文獻清單， 基於這些文獻清單，深入剖析為什麼有這麼多關於代數基本定理的證明。
從1749年到1849 年期間，代數基本定理的證明歷史分為代數證明史和分析證明史，主導代數證明的數學家主要有尤拉、拉格朗日、戴維、拉普拉斯、伍德、高斯。主導分析證明的數學家有達朗貝爾、高斯、阿爾岡、柯西。
高斯對代數基本定理的第三次證明
高斯一生為此定理提供 4次證明：1799 年的第一次證明作為博士論文發表於赫爾姆施泰特大學，在以後的1815 年、1816 年、1849年分別給出代數基本定理的另外三個證明。高斯在1816年發表的第三次證明開篇講道：
方程理論中最重要的定理，前兩個早期證明版本的不同之處在於：前者非常簡 短和簡單，但部分基於幾何考慮，而另一個則純粹是分析性的，但要複雜得多。另一 方面，基於完全不同的原理，目前的第三個證明也是純粹的分析性的，但在簡單和簡 潔性方面甚至超過了第一個。
可見第三次證明對高斯的重要性，從19 世紀中葉至 20 世紀末期，有研究者復原高斯第三次證明的思想過程，其對應於吳文俊先生提倡的數學史研究正規化中的 “古證復原”方法。本文基於原始文獻和研究文獻，在遵循高斯原始證明思想的基 礎上，對第三次證明中函式y提供一種新的證明思路。
埃爾∙拉梅引理
1834年，法國數學家加布裡埃爾∙拉梅發表了一篇關於以太流體平衡定律的文章， 論文第二部分共軛正交面一節中，拉梅證明了如下定理：
當一個曲面系統由一般方程：
定義時，ε_1，ε_2表示為ρ_1，ρ_2的各個函式， 令
α，β是不動點座標，常數α，β和A之間互不相同，以上方程式給出：
從而有：
證得曲面系統是 正交且等溫的。
函式y的重新構造
高斯首先設係數為實數的多項式：
至少有一個（實數或複數）解，使得݂f（x）=0，r，φ為其他變數並設：
高斯將函式݂f（x）替換為：
並分為實部t和虛部u：
事實上，用到棣莫弗公式：
輔助變數t和u存在的合理性在1799年的論文中已被證明，第三次證明確實處於與他的第一個證明相似的條件下。 接下來，高斯直接給出函式：
論文並沒有給出y的推導過程，後來數學界對函式y提出兩種不同的構造方法，其中方法之一是取決於反正切函式：
高斯的第三次證明本質上是從反正切函式ܽ開始的。實際上，從拉梅證明的一個定理中發現，我們可以從對數函式：
出發構造複雜函式y，令θ=logr，β是t和u的函式，則：
從而得出：
因此，這兩個量滿足方程：
二次求偏導的值恰好是：
高斯在第三次證明的腳註中解釋了確定最後一個積分的方法：
要使用它是不言自明的，此外，不定積分很容易用理解為：
它可以從另一個來源證實，該值必須確定為φ = 360°，或擴充套件為݊n× 360°，即2݊nπ，然而，這是沒有必要的計劃。
高斯試圖說明使他產生矛盾的假設，但是他想表明的是沒有必要，即使這樣，多值函式當時已經被高斯仔細考慮過了，݊n次有理函式݂f（x）的圓弧在圍繞零點足夠大的 圓上旋轉時，
將經歷2nπ的變化，高斯1811年與貝塞爾的通訊中分析了對數函式：
如果透過：
定義logx，從x=1開始，則到達logx時，不包括點x=0或者多次繞過它；每次新增常量或-2πi。
可見，透過圓的圓周時，logx的變化為2nπi，無論是ܽ反正切函式或݈對數函式都可以在遵循高斯原始思想的前提下，證明代數基本定理。
接著同高斯一樣把證明代數基本+2πi定理的證明轉化成考察二重積分次序的問題，積分的值與積分次序無關，最後所得結果應該一致，如果能找到一個可微函式y，使得積分的值因積分順序不同而不同，與原假設產生矛盾，基本定理得到了證明。
計算二重積分：
積分割槽域是半徑為ܴR，圓心在原點處的一個圓，R對應於1799 年證明中找到曲線交點的圓的半徑，先從0到2π對φ積分，積分值：
調換積分次序，高斯引入輔助定義：
Rܴ是一個足夠大的正實數，滿足：
Rܴ的選取可以保證T，U，T‘，U’都是正數。如果r=R，得出函式t^2+u^2的值是ܶT^2+U^2，tt‘+uu’的值是TT‘+UU’，因此是正的。如果假設積分從r=0 擴充套件到r=R，對於φ的任何確定的實數值， 得到：
而：
所以產生矛盾。
高斯在第三次證明中未對函式y的構造提供解釋，將此定理的證明轉換成積分與路徑無關的問題，主要歸結為曲線積分與路線無關的問題，而線積分與路線無關的條件與線積分沿任一簡單閉曲線的值都為 0 的條件相同，於是可以歸結為研究沿任一簡單閉曲線積分值為0的條件，就是現代數學教材中的柯西積分定理，高斯 1811年給貝塞爾的信件中寫道：
現在我斷言積分只有一個值，即使是透過不同的路徑，只要在兩條路徑所圍的空間內φ（x）是單值的，並且不變為無窮。這是一個很美麗的定理，它的證明並不難，我將在一個適當的機會給出這證明。
但是，高斯從未回過頭來繼續討論這個問題和重積分中的積分順序問題，反而成為柯西在複分析領域的出發點。 高斯1816 年對代數基本定理的純解析證明篇幅較短，但是理清高斯發現這一解法的思路是很困難的，一些數學家對高斯的思想過程做出猜測，發現高斯證明的關鍵點在於對多值函式的研究，利用拉梅已證明的一個定理，對函式y提供一種新構造方法。