研究質數最有力的工具之一是
狄利克雷特徵理論
。1805年，一位天才在法國誕生。他的名字叫彼得·古斯塔夫·列瓊·狄利克雷。狄利克雷12歲時就對數學感興趣，1822年他去巴黎學習。幾年後，他證明了費馬大定理的一個特殊情況，即n = 5的情況。這使他在數學界名聲大噪。1832年，狄利克雷成為普魯士科學院最年輕的成員，只有27歲。
1837年，狄利克雷開始思考一個問題，它徹底改變了我們研究整數的方法。數學家們知道素數有無限多（公元前300年歐幾里得證明了這一點），但在當時，研究自然數子集中的素數似乎是遙不可及的。但後來狄利克雷有了一個好的想法。當時的先驅們正在積極地發展復變分析，創造出了許多分析工具。他利用這些工具來研究整數，從而將複分析和數論結合起來。
他想要解決的問題是：
對於任意兩個互質整數a和m，有無窮多個a + nm形式的質數，其中n是一個正整數。
狄利克雷證明了這個命題，現在這個定理以他的名字命名，叫做
等差級數的狄利克雷定理
。為了證明這一點，狄利克雷發明了一類
完全乘性函式
，現在稱為
狄利克雷特徵（
Dirichlet characters
）
。
狄利克雷特徵
設m為自然數。模m的狄利克雷特徵是函式χ：ℤ→ℂ，
從整數到複數，滿足以下條件。
χ
（ab） = χ（a）χ（b）。
如果gcd（a， m） >1，1則χ（a） = 0，否則χ（a）≠0。
χ（a + m） = χ（a）。
從這些性質，還可以推匯出其他一些性質。例如，根據上面的第二個性質：χ（1）≠0，因此，我們可以除以它，得到χ（1）χ（1） = χ（1）⋅1 = χ（1），這意味著，對所有特徵都有χ（1） = 1。所以我們有
對於所有的χ，χ（1） = 1。
我們看到
χ（-1）² = χ（（-1）²） = χ（1） = 1
，
因此
χ（-1） = 1
或
χ（-1） = -1
。
我們稱這個符號為特徵的奇偶校驗；如果χ（-1） = 1，則稱其為偶，如果χ（-1） = -1，則稱其為奇。注意，對於任何模m，有一個特殊的特徵稱為
主特徵
χ0 mod m。它由以下方法定義
如果a≡b （mod m），那麼上面的第三個性質說明，χ（a） = χ（b）。
其他一些屬性是可派生的。其最重要的性質之一是它們都是
乘法群之間的同態
，因此在複平面的單位圓上取值。我們在這裡不討論特徵的群方面，開始之前，有兩個知識需要知道。
第一個是
尤拉函式
ϕ
。我們定義
ϕ
（n）為
小於n的正整數中與n
互質
的數的數目。
即自然數k＜n使gcd（k， n） = 1。例如，
ϕ
（10） = 4，因為有4個小於10的自然數與10互質。
我們需要知道的第二個知識是關於狄利克雷特徵的一個事實叫做正交關係，
這裡求和是所有模為m的特徵，第一個特徵上的橫槓是這個特徵的複共軛。
從尤拉函式到L-函式
尤拉研究了ζ函式，發現素數和自然數之間有一個美麗的聯絡，稱為
尤拉乘積
。令s＞1，那麼
s實際上可以是複數（由黎曼推廣），但在尤拉的時代，複數分析還處於初級階段，他只考慮s為實值。
這實際上給出了“有無限多個素數”的另一個證明。尤拉注意到如果對方程兩邊取對數會發生一些有趣的事情，
現在回想一下對數的泰勒級數展開
因此我們得到，
當s向右趨近於1。
我們看到，log ζ（s） =∑1/p^s加上某個有界函式。有很多方法來證明這個
漸近界O（1）
。一種方法是回到對數的和。我們可以用微積分的各種方法證明，如果
0 < x ≤ 1/2 ，那麼 -log（1 - x） < x + x²
。
因為對於所有質數p和
s > 1，1/p^s ≤ 1/2
，我們可以用這個引理代入得到
這顯示了一個顯式的邊界和
尤拉著名的巴塞爾問題解
的一個很好的應用。透過這種方法，我們不僅確定了有無限多個質數，而且知道∑1/p是發散的。這樣，我們就可以有把握地說，
質數在自然數中比平方數的密度大。
儘管質數倒數的和發散的速度很慢。實際上，我們可以從上面看到它的發散近似於
loglogx
。這是一個增長極其緩慢的函式。例如，這個函式要超過數字4，需要x大於
這是一個有24位的數字。狄利克雷的想法是試圖將這個結果推廣到素數的子集即等差數列中的素數。注意下面的等差數列
可以表示為
換句話說，狄利克雷想要證明，如果gcd（a， m） = 1，我們得到的結果
是發散的。
為了做到這一點，狄利克雷有了第二個奇蹟般的洞察。結果是ζ函式有很多“表親”
，
它們顯示出和ζ函式相同的性質包括
尤拉乘積
。這類函式是狄利克雷的第二大發現。
由於狄利克雷特徵是完全乘性的，因此它們對應的狄利克雷級數也有尤拉積。具體地說，我們有關於
χ
的狄利克雷L-級數的定義：
我們假設
s > 1
。
這也可以定義為複數s。透過解析延拓，這個函式可以擴充套件為整個複平面上的亞純函式，稱為
狄利克雷L-函式。
在複平面上定義ζ函式時，稱為黎曼ζ函式。
因為所有的狄利克雷特徵都是完全乘性的，這個級數也有一個尤拉積，
注意，對於具有平凡特徵的狄利克雷L-級數的定義，即χ（n） = 1對於所有n，給出了通常的帶有尤拉乘積的ζ函式。這使得
狄利克雷L-函式成為了ζ函式的推廣
。
事實上，這些函式與黎曼ζ函式非常相似，它們不僅具有等價的尤拉乘積，而且在Re（s） = 1/2這條線周圍有一個漂亮的對稱關係。此外，它們被期望滿足一個與黎曼假設等價的命題，但這尚未得到證明。
狄利克雷的證明
一旦狄利克雷建立了特徵的尤拉積，接下來的邏輯步驟是對兩邊取對數，得到質數的和
再一次，透過類似於上面的論證，我們可以用漸近函式來重寫它
這僅僅意味著，當s→1時，右邊的和的增長近似於左邊。從這裡，狄利克雷有了一個偉大的想法。他用正交關係把它變成了他想要的形式。具體地說，如果我們在上面的方程兩邊乘以
χ
（a）的複共軛，然後用模m對所有的特徵求和，我們得到如下結果
這太神奇了。狄利克雷用他的特徵定義了一個（全純）函式，它是等差數列
中所有素數的和。
現在，狄利克雷“只”需要證明左邊在s→1時發散。
證明這一點的策略是，透過將特徵分組到三個不相交的集合，
這樣做的原因之一是，對於任何非主特徵的χ，結果表明級數L（s，χ）對於s>0是收斂的。
其策略是證明L（s，χ0）在s = 1處有一個簡單的極，即對應的L級數是發散的，如果χ是一個非主特徵，則L（1，χ）≠0。
第二個原因是，我們需要確保L（s，χ0）的極點不會被“log（0）”這樣形式的負無窮吞噬。
第一個（主特徵），很簡單，可以用很多方法證明。例如，我們可以檢驗，
觀察一下，右邊除模m的質數的乘積總是有限的——事實上，當s = 1時，你可以檢查它等於
ϕ
（m）/m。所以左邊的級數從ζ （s = 1）繼承了極點。
因此，最重要的是證明L（1，χ）對任何非主特徵都不等於0。
複數的情況比較簡單，因為如果我們對相應的L級數的所有特徵取一個乘積，
那麼首先，可以證明
我們可以把L-級數的對數寫成另一個級數，在這種情況下更容易處理。
第二（復特徵），由於主特徵的L-級數在s→1時發散，乘積中最多隻能有一個零因子，否則，它將是0，與它大於1相矛盾。但如果χ是一個複數，那麼它的共軛複數也是不同的，但如果一個是0，另一個也是不同的。因此，對於復χ， L（1，χ）≠0。
二次特徵的情況更加微妙，超出了本文的範圍。
狄利克雷發明了一個新的數學領域和許多新的抽象方法。在這個證明中，他使用了一些現代的抽象方法。需要注意的是，狄利克雷在他的證明中使用的符號與我們現代的符號非常不同。
我認為這是最具創新和美麗的證明之一。