曉查 發自 凹非寺

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一次求解希爾伯特第13個問題的“失敗”工作，非但沒有讓芝加哥大學數學教授本森·法布（Benson Farb）感到沮喪，反而讓他覺得

很高興

。

還不止是他，與他合作的另外兩位數學家也對此表示：喜聞樂見。

因為求解希爾伯特第13個問題的失敗，芝加哥大學數學教授本森·法布（Benson Farb）不但沒有感到沮喪，反而很高興，而且與他合作的另外兩位數學家也為此高興。

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Benson Farb

沒想到，這個早在1957年被“半解決”的問題，現在卻把研究多項式、拓撲學、數論的三位數學家聯絡起來。

只因為這一次失敗，他們打開了新通向新數學世界的大門，為自己的研究領域找到了新的工具。

希爾伯特第13個問題

還是先從希爾伯特第13個問題本身說起。

1900年，著名數學家

大衛·希爾伯特

在第二屆國際數學大會上提出了23個數學問題，被看作指引了此後數學界一百多年的發展。

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1900年的大衛·希爾伯特

希爾伯特第13個問題只是這23道題其中之一，它的內容是這樣的：

7次方程的解，能否用兩個變數的函式的組合表示？

受過九年義務教育的朋友，應該都背過二次方程

的求根公式

至於三次方程

的解，中學數學沒有教，因為它實在太複雜了：

隨著方程次數的增加，求根公式的複雜度也急劇增加。那麼我們有沒有可能寫出4次、5次、6次乃至7次方程的求根公式？

阿貝爾-魯菲尼定理

告訴我們，5次以及更高次的多項式方程，並不存在“一般意義”的求根公式。

這個所謂的“一般”在數學上有嚴格定義，就是隻包含只能包含加減乘除以及乘方、開方6種運算。

所以七次方程的“一般”求根公式顯然也是不存在的。而希爾伯特所說的求根公式，比“一般”要寬鬆一些。

經過一系列變換後，7次方程可以簡化為如下的形式：

其中a、b、c都是複數，方程的解應該是a、b、c的函式，即x=f（a，b，c）。希爾伯特的意思是：

這個三元變數函式能否能表示為二元變數函式的組合。

三個數學家聯手

1957年，兩位蘇聯數學家

安德烈·柯爾莫哥洛夫

（Andrei Kolmogorov，）和他當時只有19歲的學生

弗拉基米爾·阿諾德

（Vladimir Arnold）證明了，7次方程的解可以簡化為兩個變數的連續函式的疊加。

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1957年的弗拉基米爾·阿諾德

可能希爾伯特並不關心這個結果。因為很多數學家認為，希爾伯特所說的函式，應該是代數函式，而非連續函式。

在數學界，希爾伯特問題只能說被“半解決”了。

而阿諾德和他的導師柯爾莫哥洛夫也不是完全為了解決希爾伯特的問題，只是以他倆名字命名的“Kolmogorov-Arnold表示定理”的附帶結果。

這條定理激發了很多數學家對函數理論和其他相關問題進行的許多研究。

法布也在其中找到了解決自己問題的法寶。5年前，法布看到阿諾德的一篇文章，這位著名的數學家對他的工作和職業進行了反思。

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阿諾德近況

法布驚訝地發現，自己研究的問題就在阿諾德求解希爾伯特第13個問題的方法中。

雖然數學家們還沒有完全解決希爾伯特第13個問題，但是從中發現已經消失的數學策略，探索了這個問題與各種領域之間的聯絡，其中包括複雜分析、拓撲、數論、表示論和代數幾何。

5年前，法布與當時還是博士後的傑西·沃爾夫森（Jesse Wolfson）進行拓撲專案的合作。

2017年，在慶祝法布50歲生日的研討會上，他的老朋友馬克·基辛（Mark Kisin）聽到了沃爾夫森的演講，並驚訝地意識到，這兩位關於多項式的思想，正與他自己的數論研究中的問題有關。於是他加入了合作。

視覺思考開啟

新世界

的大門

法布說，希爾伯特的第13個問題是數學中最基本的公開問題之一，因為它引發了深層次的問題：多項式有多複雜，我們該如何衡量？

用圖形的方式能夠最直觀地理解多項式。在解析幾何裡，多項式可以繪製成曲線，方程越高階產生的曲線越複雜，求解方程實際上就是找到這條曲線與x軸的交點。

而具有多個變數的多項式，則對應著更高維度中的曲面。透過研究這些曲面的性質，數學家們可以進一步瞭解多項式。

結果就是，許多理解多項式的努力都來自代數幾何和拓撲學。拓撲學專注於圖形在投影、變形、壓縮、拉伸或以其他方式變形而不會斷裂時發生的情況。

希爾伯特本人就是將幾何方法用於研究其他問題的高手。

1900年他提出23個問題時，數學家已經有了許多簡化多項式的技巧，但是仍然無法取得進展。

1927年，希爾伯特描述了一個新的技術。他首先確定了簡化九次多項式的所有可能方法，然後在其中發現了一系列特殊的三次曲面。

希爾伯特知道，每個光滑的三次曲面（由三次多項式定義）都精確地包含27條直線，無論這個曲面看起來有多扭曲。（這些直線會隨多項式係數的變化而變化。）

他意識到，如果知道這些直線中的一條，就可以簡化9階多項式，並找到9次方程的根。

這個求根公式只需要四個引數的函式。用現代術語來說叫解析度（resolvent degree）為4。所謂的解析度就是描述某個多項式方程函式的最少自變數數目。

對於7次方程而言，其解析度為2。

希爾伯特的方法說明，可以利用幾何世界的工具將9階多項式的解析度降低到4。

2020年1月，與法布有過合作的沃爾夫森（Wolfson）發表了一篇論文，將希爾伯特關於9階多項式的幾何工作擴充套件到更一般的理論。

希爾伯特專注於三次曲面，用於求解9階多項式。但是高階多項式呢？沃爾夫森認為，可以用高次多項式形成的某些高維“超曲面”代替三次曲面，以類似的方式解決這些問題。

雖然我們對它們的幾何形狀瞭解甚少，但是在過去的幾十年中，數學家已經能夠證明在某些情況下超曲面上總是有直線。

原來這幾十年裡，研究拓撲幾何數學家已經不知不覺中“幫助”研究多項式的數學家開路了。

透過這種新方法，沃爾夫森確認了9階多項式的希爾伯特解析度。對於其他多項式，尤其是9階以上的多項式，他的方法縮小了解析度的上限。

因此，這已經不是隻關乎希爾伯特第13個問題，而是擴充套件到了整個多項式問題，數學家們可以藉此提出關於6次、8次、9次的類似問題。

三位數學家發現的這個一般的解析度理論表明，這套工具是使用範圍超出了他們的想象。關於6次、7次和8次方程的希爾伯特猜想，還與其他原本看似無關的數學領域中的問題等效。

法布說，希爾伯特第13個問題是萬花筒。

“開啟這個東西，投入的越多，就會得到更多的新方向和想法。”

“它打開了通往各個學科的大門、整個美麗的數學網路。”

在法布看來，成功在數學中很罕見，數學家90%的時間在承受失敗。

這種失敗，應該是他很樂於享受的。因為他們找到了一個新的數學工具，就像愛麗絲從兔子洞掉入了一個神奇的仙境。

參考連結：

數學家探尋未解決的希爾伯特第13個問題

https：//www。quantamagazine。org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/

公眾號“普林小虎隊”：那些不被允許領取菲爾茲獎的數學家

論文地址：

https：//arxiv。org/abs/2001。06515