幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數學家萊布尼茨1679年提出，有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中佔著重要的地位。

在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的尤拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。

哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家尤拉，尤拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。尤拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，尤拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和尤拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：f+v-e=2。

根據多面體的尤拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯。格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是拓撲學的“先聲”。