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有限元軟體能帶來什麼優勢？
有限元分析 （Finite Element Analysis，FEA） 軟體可以幫助企業減少在產品或者流程的設計、最佳化或控制環節中，原型測試的原型數量和測試次數。對於企業和研究機構來說，有限元模擬分析帶來的不僅僅是成本的降低，更重要的是在激烈的市場競爭中贏得優勢，為研發投入帶來了更大的回報。正因如此，近年來，越來越多的企業將更多的研發資源投入到有限元分析中。
一旦建立了能夠準確預測真實物理引數的有限元分析模型，工程師們就可以藉助它來加強對物理現象的理解和認識，以大幅改進產品或過程的設計和執行。在此基礎上，最佳化演算法和自動控制的應用，可以進一步實現僅憑直覺完全無法達到的設計改進。目前的有限元分析軟體大多已包含自動控制功能，並將這些功能嵌入數學和數值模型中，而最佳化演算法也通常包含在求解過程中，下文將會詳細介紹。
高保真模型的引入，可以幫助工程師們加深理解、激發靈感，帶來全新的設計和方案。正是因為這個原因，對於面臨著激烈競爭的企業來說，有限元分析是研發部門不可或缺的工具。近年來，有限元分析軟體的使用越來越廣泛，已經從大型企業以及工程師的培養機構，擴充套件到各行各業的中小型企業和涉及各個學科的研究型機構中。
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深入解讀有限元分析軟體
基於數學模型表示的物理定律構成了有限元分析軟體的基礎。對於有限元分析來說，這些定律包括各項守恆定律、經典力學定律和電磁學定律。
透過使用有限元法（FEM）將數學模型離散化，可以得到相應的數值模型；隨後求解離散方程，並對結果進行分析，這就是
有限元分析
這一術語的含義。
透過數學語言對物理定律在空間和時間進行表述，即產生了偏微分方程（PDE）。偏微分方程的解用因變量表示，如結構位移、速度場、溫度場和電勢場，等等。解是基於自變數 x、y、z 和 t 在空間和時間尺度上進行描述的。
求解給定系統的偏微分方程，不僅可以幫助我們理解我們所研究的系統，還可以對其做出合理的預測。有限元分析主要用於理解、預測、最佳化以及控制產品或過程的設計和執行。
採用結構力學振型分析預測得到的冷卻風扇葉片振動情況。
對於結構力學而言，物理描述基於力平衡定律以及將應力應變關聯的本構關係，
胡克定律
便是這種關係的典型示例。傳統的有限元分析通常僅限於結構分析。
CFD 模擬示例。
流體流動、傳熱和傳質中的描述基於動量、質量和能量守恆定律，其中的通量往往由對流和耗散或擴散組合而成。耗散和擴散的精確形式由某個本構關係給出，例如，牛頓流體的粘性應力、傅立葉熱傳導定律和菲克擴散定律。
探針饋電的切角微帶貼片天線在 GPS 頻率範圍附近的輻射圖。箭頭顯示右旋圓極化，其分量幾乎是徑向的。近似球形的表面表示增益的大小。
透過高斯定律可以將靜電場與電荷量相關聯，根據安培定律可以確定磁場與電流的關係，根據法拉第定律，可以使用麥克斯韋方程組分析動力學，比如時變磁場產生的感應電場。麥克斯韋自己的決定性貢獻在於，他引入了時變電場產生的位移電流，從而完善了對電磁場波特性的描述。
MEMS 執行器透過焦耳熱效應使兩個通電熱臂（白色和黃色）發生熱膨脹，熱膨脹會產生結構位移，從而推動執行器工作。這是有限元分析中的多物理場典型案例。
我們可以將結構力學、流體流動、傳熱、傳質和電磁學中使用的定律結合起來，用於描述多種物理現象相互作用的系統，也就是通常所說的多物理場系統。例如，在描述微機電系統（MEMS）時，通常需要結合使用結構力學定律和電磁學定律。在描述流-固耦合（FSI）時，需要結合使用結構力學定律和流體流動定律。
03
數學模型和數值模型
系統的數學模型可以包含一個或多個偏微分方程來描述相關定律，同時包含邊界條件和初始條件。邊界條件用於對解和部分建模域（如表面、邊或點）施加額外的條件，同一個模型可以使用多種不同的邊界條件。初始條件用於定義系統在時變事件開始時的狀。
這是一個基於能量守恆建立的散熱器數學模型，可以得到溫度場 T 的熱方程，即上圖中的第一個方程。本構關係是傅立葉熱傳導定律，其中 k 表示導熱係數。上述方程在散熱器域（Ω）內部有效，其中 ρ 和 Cp 分別表示材料密度和熱容。在散熱器底座（Ω1）上，上圖第二個方程中的溫度（用 T 表示）被限制為 Thot，用來表示第一個邊界條件。在除底座以外的其他所有邊界（Ω2）上，每個點的熱通量都與溫度突變（突變到邊界層外的環境溫度）成正比。h 表示傳熱係數；n 表示向外指向邊界表面的法矢，具有統一的長度。如果環境溫度低於散熱器的區域性溫度，則散熱器會釋放熱量。
從物理學角度來看，邊界條件和初始資料通常是模型的自然組成部分（例如，結構力學中的載荷和約束，流體流動分析中入口和出口的壓力水平，以及靜電學中的端子電勢）。從數學的角度來看，邊界條件和初始資料能夠從無數的可能解中選出唯一的解。
適定的數學模型
一個正確定義的數學模型往往具有適定性。如果一個數學模型具有唯一解，並且這個解連續依賴於問題的資料（即源項、通量、約束值和初始值），則該模型是適定的。如果模型
不
適定，則會在數值模型中反映出來，並會在求解過程中出現問題。
“適定”可以認為是模型能否用於數值模擬（例如有限元分析）的最低要求。
從理論的角度來講，通常很難確定現實中的非線性三維模型是否適定；鑑於此，用於基礎分析的模型都經過了大量簡化。透過這些簡化模型得出的結論可以用來評估更貼近實際的模型的效能表現。即使是適定模型，也可能對模型資料的變化非常敏感，這類模型在本質上是病態或敏感模型。
透過現代數值方法求解偏微分方程，實現了數學應用的革命性突破。原因在於，只有在非常特殊的情況下（例如方程與簡單幾何的特定組合中）才能得到數學模型的解析解。儘管這些情況從理論上來說非常重要，但對工程師而言用處並不大。數值方法突破了這個限制，可以處理非線性問題和複雜的幾何結構。雖然數值方法還存在其他方面的計算難題（請參見下面的“解”部分），但對新模型和幾何的適用性沒有任何問題。
數值方法可以給出適定數學模型的近似解。大部分數值方法都以建模域和所描述因變數的離散為基礎。有限差分法、有限體積法和有限元法是最常用的離散化方法。顧名思義，有限元法（FEM）用於進行有限元分析。
有限元離散的散熱器模型。底座的四面體有限元體積網格構成三角形表面單元。翅片內部的稜柱單元構成翅片表面的矩形單元。
對所描述系統的數學 模型進行離散化，可以得到對應的數值 模型，後者是前者的離散近似。使用數值模型代替數學模型會引入誤差，這種誤差稱為截斷誤差。
截斷誤差被定義為數值模型與數學模型的解之間的差值。如果數值模型穩定且一致，則截斷誤差接近於零，這是因為單元尺寸接近於零（即數值解收斂於數學模型的解）。截斷誤差會以一定的速度收斂；速度由精度階數測得。如果精度階數為正數，則說明模型具有一致性。
有限元法的出發點是數學模型的
弱形式
。透過引入試函式，並將偏微分方程與這些試函式相乘，然後在建模域中對其進行積分，即可從逐點偏微分方程得到這種形式（也稱為
強形式
）。您可以選擇將這一過程與分部積分法結合使用。每個試函式都必須保持積分關係。為了與偏微分方程一致，必須有無窮多的試函式，並且這些試函式必須具有普遍的適用性。如此一來，就必須保持無窮多個積分關係，而建模域中每個點的逐點偏微分方程也必須保持不變。
有限元法引入的試函式透過計算網格進行定義。每個計算單元或網格單元都有多個區域性定義的試函式。此外，有限元法中還定義了形函式，作為其基本組成部分。這些形函式用來表示候選解。對於瞬態問題，有限元法往往只用於空間離散化。在這種情況下，也就是在有限元離散之後得到的方程組是常微分方程組（ODE）。這個方程組轉而使用有限差分法或其他類似方法進行離散。
在這個示例中，溫度的近似公式可以寫為：
其中， φ
i
（x）表示形函式，
Ti
表示未知權重。
這裡，形函式只在空間上變化，而未知數只在時間上變化。在有限元法中，權重也稱為自由度。在伽遼金有限元方法中，形函式與試函式具有相同的型別。然後，結合使用弱形式與邊界條件為未知數建立有限代數方程組。
網格中的每個節點（用 j 表示）都有一個基或試函式 ，並根據以下公式給出方程：
每個節點 j 都只有幾個形函式 i 與試函式 j 重疊；因此，上面的積分只能在共享同一節點 j 的單元上進行計算。請注意，如果節點 j 是一個邊界節點，則邊界貢獻不為零。對未知數而言，這是一個線性常微分方程——至少在材料屬性與溫度無關的情況下如此。
根據一般的經驗，如果偏微分方程是非線性的，則未知數問題通常也是非線性的。還請注意，這個方程組只包含通量邊界條件，不包含指定溫度條件，您必須將其作為附加約束條件進行新增。
在為不同的網格單元型別和方程選擇試函式和形函式方面，有限元法提供了相當大的自由度。“非結構化”網格的參與單元在尺寸和形狀上往往存在較大差異；這種網格的有限元公式使得該方法能以相對較低的成本應用於非常複雜的幾何結構，自動生成非結構化網格也更加容易一些。在大多數情況下，形函式和試函式為易於定義和積分的低階多項式。此外，與弱形式的密切關係為該方法提供了堅實的數學基礎，其中的數學理論已經發展得非常成熟。
一旦將數學模型離散化，便必須求解生成的數值模型中的方程。
與從左向右流動的周圍空氣的溫度相比，散熱器內部的溫度變化幅度很小。由於散熱器材料（鋁）的導熱係數遠大於空氣（並且空氣混合不均勻），因此能推測出散熱器內部的溫度變化不大。在該模擬中，散熱器模型透過方程得到了擴充套件，包括散熱器周圍空氣的能量守恆方程，以及體現質量守恆和動量守恆的流體流動方程。整個方程組透過有限元法進行離散和求解。
04
有限元分析的具體過程
由於歷史原因，傳統的有限元分析物件主要是基於結構力學的模型，只在較小範圍內涉及傳熱。隨著多物理場建模應用的日益廣泛，有限元法在流體流動和電磁模擬中得到了普遍應用，“有限元分析”一詞也逐漸被其他工程和科學領域所接受和認可。事實上，無論是在何種應用領域，有限元分析過程都是相同的。
下面簡要概述有限元分析的主要工作流程，涵蓋從幾何到模型文件的各個過程。
幾何
有限元分析要求模型幾何“緊密相連”。計算機輔助設計（CAD）幾何結構並不總是用於分析目的。舉個例子，現實生活中的某個物體可以透過 CAD 繪圖中一組鬆散連線的三維表面來描述；然而在有限元分析中，這些表面必須能夠形成一個真實的體。
即使 CAD 繪圖中的一組三維表面能夠形成一個體，但很可能存在一些表面過於細長，而一些邊對於幾何尺寸而言又過短的情況。這樣一來，這些不理想的幾何特徵上便會產生不符合要求的單元分佈。
為了準備一個可用於有限元分析的 CAD 幾何，通常需要對幾何進行修復 和特徵去除。修復操作可以修補幾何中不“緊密相連”的部分，特徵去除操作可以移除細長表面或合併多餘的小邊。
為了進行分析而建立、修復 CAD 幾何以及去除特徵的過程，通常是更大過程的一個環節——在有限元分析中，傳統上稱之為預處理。
材料
數學模型中的本構關係涉及材料的物理屬性，這些屬性可能與建模變數（“因變數”）相關。例如，在熱膨脹分析中，機械屬性和熱屬性往往與溫度相關。
空氣導熱係數隨溫度的變化情況。
在實際操作中，需要正確估計材料屬性和參考點的有效間隔。除此之外，還必須為幾何的各個部分指派不同屬性的材料。
在傳統的有限元分析中，定義和指派材料屬性及材料屬性函式的過程，通常也認為是預處理的一部分。
域設定、邊界條件、載荷及約束
在結構力學中，透過為系統選擇的材料、載荷及約束可以定義數學模型。一般情況下，設定材料、域方程、邊界條件和初始條件，即可定義數學模型。
固體傳熱介面，可自動定義散熱器中的域方程。方程描述包含溫度相關屬性。透過顯示這些方程，您可以瞭解模型背後的原理。
透過選擇 固體傳熱介面，可自動定義散熱器中的域方程。方程描述包含溫度相關屬性。透過顯示這些方程，您可以瞭解模型背後的原理。
這部分的分析涉及選擇幾何域、邊界、邊和點，以及為這些幾何實體指派方程、載荷或約束。這些設定的定義過程通常也認為是傳統有限元分析中預處理的一部分。
網格
幾何、材料、域設定、邊界條件、初始條件、荷載及約束的定義無需離散化即可進行。然而，在許多較舊的有限元分析軟體中，仍然是基於離散模型來執行這些操作。
網格建立完成後，我們便得到一個完整的數值模型。不同的現象和分析需要使用不同的網格設定。例如，在波的傳播問題（例如，結構力學中的彈性波建模，或者射頻分析中的電磁波建模）中，最大單元的尺寸必須遠小於波長才能正確求解問題。在流體流動中，可能需要邊界層網格才能解析邊界層，而單元雷諾數可以確定流體本體的單元尺寸。
透過適用於流體流動建模的邊界層網格剖分方法，對固體表面網格進行細化。
在許多情況下，CAD 幾何的不同部分必須單獨進行網格剖分。各部分之間介面處的模型變數必須透過有限元分析軟體進行匹配，這一操作可以透過連續性約束（即用於將不同部分的有限元離散相互關聯的邊界條件）來實現。由於這些條件可能具有非區域性特性，它們通常被稱為多點約束。
在傳統的有限元分析中，網格剖分被認為是難度最高的預處理任務之一；而在現代有限元分析軟體中，初始網格可以在求解過程中自動改變，從而儘可能減小數值解的誤差，這種方法稱為
自適應網格剖分
。
解
如果說建立網格是一項高難度的任務，那麼在合理的計算時間內選擇和設定求解器並求得方程的解（構成數值模型）便是一項更加艱鉅的工作。這些困難與求解過程中面臨的各項挑戰緊密相關。
首先，使用代數方程的離散模型可能非常大。一個三維模型往往擁有數百萬個自由度。基於有限元法的數值模型求解過程的中心環節，是求解大型線性代數方程組。非線性、引數化、特徵值和瞬態問題則透過迭代法求解，該方法求解一系列大型線性方程組。
一般來說，大型線性方程組很難進行有效求解。儘管可以使用現成的黑箱法，但這種方法對於實際模型而言往往代價過高，相關示例包括基於 LU 因式分解法的直接求解器，或通用的
迭代法
。
為了尋求一個成功且近乎最優的替代方案，必須利用基礎系統的某種結構。對於多物理場問題，這種結構可能並不存在，或者難以識別。在這種情況下，一個有用的做法是，將問題按物理成分進行分解，從而使分解的結構能被有效利用。現代有限元分析軟體使用幾何或代數
多重網格法
，以加快線性系統的迭代求解過程。
有限元分析求解器的另一個問題來源是模型的非線性。牛頓方法使用區域性導數資訊來尋求更好的候選解；但只有在當前的估計解與真正的數值解足夠接近 時，這種方法才可靠。實際上，對解的初始猜測值並不總是與真實值足夠接近；在這樣的情況下，使用牛頓方法通常無法正確求解。對問題進行不同的簡化或
鬆弛
可能會有所幫助。透過求解更為簡單的相似問題來代替原始問題，可以得到候選解。例如，可以忽略某些非線性來得到一個容易求解的線性問題。為此，我們開發了分離式求解器和連續求解器。
有限元分析求解器遇到的第三類困難是，數值模型可能不穩定，或者由於其他原因，沒有為數學模型提供較好的近似。與更完善、效能更優的數值模型相比，這些情況下的求解過程要顯得困難得多。我們可能很難發現和理解引起這一問題的根本原因。在許多情況下，我們可以採用某種方式修改模型而不是透過設定求解器作為補救措施。更好的自適應網格通常是模型效能改進的重要組成部分。
總而言之，求解器的設定選項需要非常靈活；同時，還要能呼叫功能強大的各種方法。我們往往需要在穩定性和效能之間達成折衷。
透過擾亂數值模型來研究其靈敏度，始終是一個很好的做法。可以到達兩個相關目的：檢查模型是否具有數值上的穩定性，以及對當前有限元分析中的一些重要物理量的截斷誤差進行量化。有限元離散的截斷誤差通常（但不總是）決定著模擬中的誤差。為此，可以將模型中的關鍵派生值與典型的網格單元尺寸進行比較，然後採用不同的網格（在理想情況下，採用與當前網格明顯不同的其他兩個網格，且它們彼此也存在較大差異）重複進行計算。
如果數值模型效能良好，便可以根據比較結果估計精度階數。如果精度階數為正數，則所研究的兩個最精細網格之間的物理量的差值，可以作為該物理量的截斷誤差估計值。有時，我們很難創建出滿足所有需求的多個網格；在這種情況下，需要使用兩個截然不同的網格的比較結果作為替代方法。
如果差值較小，表明該數值模型表現良好，且這個物理量的截斷誤差也較小。但是，如果差值較大，則很難得出任何結論。這種差異可能是由於兩個網格的不穩定性或精度低造成的。然而，細化網格的解可能是精確的，而粗化網格的解則可能精度較差。即使截斷誤差估計尚不確定，至少可以排除模型不穩定的風險（例如，使用與該細化網格相當但不同的其他網格）。其他離散引數和求解器設定（如容差）也應進行更改。如果對於所有“擾動”模擬來說，研究的物理量只發生了很小程度的變化，則說明該數值模型具有良好的穩定性。
結果
對數值求解器的計算結果進行的分析包括：研究建模場的三維繪圖、橫截面圖（如 x-y 繪圖）以及計算派生值，例如對體、表面或邊求積分，或計算沿邊或點的表示式的值。
在較舊的有限元分析軟體中，必須先定義要分析的繪圖和派生值，才能進行求解。如果遺漏某些關鍵定義，則意味著需要從頭開始重新求解。因此，定義要在後處理 過程中分析的表示式和派生值，也認為是預處理的一部分。
現代有限元分析軟體支援在計算出解之後，動態定義表示式和派生值。在這些軟體中，表示式和派生值的定義是後處理的重要組成部分，用於對模型進行深入預測。
基於表示式和派生值生成三維繪圖、表面圖、x-y 繪圖和表格值，然後進行分析，是正確的後處理操作。
翅片頂部（藍色）和底部（綠色）沿流動方向的壓力損失。由於流體必須透過橫截面相對較大的散熱器底座，因此底部的壓力損失略大一些。
後處理中的一項重要任務是估計數值解中的誤差。如上所述，可以透過求解不同網格尺寸的數值模型方程，來估計數值解的收斂性，從而實現誤差估計。
後處理的另一個重要部分是估計模型對不同資料（如材料屬性、初始條件、邊界條件、載荷、約束以及數學模型和數值模型所需的其他輸入引數）的靈敏度。
自動生成模型文件
在執行模擬後，非常重要的一步是將輸入資料和模擬結果彙總到報告中，並在其中記錄特定的會話。現代有限元分析軟體支援定義報告的結構，使用者可以在其中選擇要記錄的輸入和輸出資料。系統可以自動生成此類報告，您可以將其另存為文件，在將來每次模擬時用作參考。
散熱器模擬報告的第一頁。報告結構建立完成後，報告便會根據每次模擬結果自動更新，並能以不同的名稱進行儲存，以記錄模擬資訊。其中包含一個問題定義部分，記錄域設定、邊界設定、初始條件、網格、自由度數量等資訊。結果包含派生值和模型檔案中的繪圖。
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有限元分析發展趨勢
如上所述，有限元分析過程包含許多步驟。選擇大量引數（這些引數用於控制求解過程）等許多細節操作已成功實現自動化，無需使用者太多關注。現今的有限元分析軟體與上一代產品相比，效能得到了顯著提升，價格也明顯降低，工程師和小企業也能購買使用。
然而，為了進一步發掘有限元分析的潛力，使其幫助人們將更好的工程設計變為現實，需要做的工作還有很多。演算法和使用者介面都在不斷得到改進，對於在各自的特定應用領域使用有限元分析工具的工程師、設計者和研究人員，減輕他們的負擔，使其不必花大量的時間和精力來研究計算方法的細節，是目前的一個重要趨勢。新軟體介面的開發工作正在進行中，希望能幫助有限元分析專業人員和應用專業人員一同構建專用的分析工具，使工程師能夠專注於設計任務，而不必“時刻關注”不斷變化的計算細節。
隨著價格低廉的雲計算資源成為現實，再加上安全的資料傳輸手段，設計專案中將引入越來越多的計算分析。數學建模和有限元分析軟體已經在過去和現在取得了成功，下一代軟體將實現質的飛躍。數值計算不僅能減少工程工作量，還能使分析更加精確，實現對從概念到生產的整個產品鏈提供有力支援。藉助有限元分析軟體進行數學建模，必能照亮未來發展之路！
有限元分析具有光明的前景。