幾何圖形的計數公式——數正方形的公式

圖6－6中各圖內的所有正方形的個數（圖中每個小格都是正方形）。

為方便起見，我們假定每個小方格的邊長為1個長度單位。

圖6－6（a）中大正方形邊長為2個長度單位，其中邊長為1個長度單位的正方形有（2×2）＝4個，邊長為2個長度單位的正方形有1個。所以，正方形總數為1×1＋2×2＝5（個）

圖6－6（b）中大正方形邊長為3個長度單位，其中邊長為1個長度單位的正方形有（3×3＝）9個，邊長為2個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為3個長度單位的正方形有1個。所以，正方形的總數為1×1＋2×2＋3×3＝14（個）

圖6－6（c）中大正方形邊長為4個長度單位，其中邊長為1個長度單位的正方形有（4×4＝）16個，邊長為2個長度單位的正方形有（3×3＝）9個，邊長為3個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為4個長度單位的正方形有1 個。所以，正方形的總數為

1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（個）

圖6－6（d）中大正方形邊長為5個長度單位。其中邊長為1個長度單位的正方形有（5×5＝）25個，邊長為2個長度單位的正方形有（4×4＝）16個，邊長為3個長度單位的正方形有（3×3＝）9個，邊長為4個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為5個長度單位的正方形有1個。所以，正方形的總數為

1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（個）

一般而言，如果類似圖6－6中大正方形邊長為n個長度單位，那麼其中邊長為1個長度單位的正方形有（n×n＝）n2 個，邊長為2個長度單位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2 個，…，邊長為n－2個長度單位的正方形有（3×3＝）9個，邊長為n－1個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為n個長度單位的正方形有1個。所以，如果類似圖6－6的大正方形各邊上都有n個彼此相等的小格，那麼圖中正方形的總數為12＋22＋32＋…＋n2 ③