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導讀
一切，都要從那兩隻擺鐘開始說起……
如何將一杯咖啡從咖啡機端到工位？
或者將一碗豆漿從餐廳視窗端到餐桌？
甚至是如何把一勺番茄蛋湯從鍋裡舀入碗內？
——乾飯人的每天靈魂拷問
對於聰明的人類而言，這不過是生存的眾多基本技能之一。（手：這不有我就行？
但對於物理學來說，端咖啡其實是一項了不起的壯舉！一切，都要從那兩隻擺鐘開始說起——
01
擺鐘之間的悄悄話
單擺是我們學習物理的過程中接觸的最早的模型之一。在單擺中，我們假設繩子一端固定，另一端連線一個質點，並假設繩子是沒有重量的，這樣所有的質量都集中一個沒有體積的質點上，對質點進行受力分析：該質點受兩個力的作用，一個是繩子的拉力，一個是重力，再加上繩子不可拉伸的約束條件，得到運動方程式為：
因為sinθ的存在，這是一個非線性的常微分方程，在θ → 0 的情形下，我們可以做sinθ = θ的近似，這樣就將原來難以處理的非線性常微分方程，變成了易於處理的線性常微分方程。得到：
它的解為：
其中θ₀，ϕ₀ 由單擺的初始狀態決定。這個解表明，單擺的角度正比於時間的正弦函式，這就意味著，單擺的運動具有固定的週期：
並且這個週期只由該地的重力加速度和繩子長度決定，與單擺擺動幅度，單擺末端的質點的重量沒有關係。
依據這種特性，1656 年，荷蘭物理學家
克里斯蒂安·惠更斯
，發明了擺鐘，用於解決航海中測量經度時的需要。航海中，人們可以透過天文學觀測，確定所到之處的
緯度
；如果有準確的計時工具，就能根據一個經度已知的陸地參考點的時間，確定所到之處的
經度
。為了讓擺鐘計時更加地精確，惠更斯計劃在船上放
兩個擺鐘
。沒想到，兩個素不相識的擺鐘竟然……
……竟然擺著擺著，開始默契的同步了，就像說了什麼悄悄話一樣（雖然相位是完全相反的，即擺動的方向剛好相反）。
@Veritasium
也就是說，兩個放在一起的擺鐘，雖然擺錘初始的位置不同，各自原本的週期也不同，但經過一段時間的擺動，竟然變得週期相同了。這種現象的產生是因為，兩個擺不再是
獨立
的擺動，而是透過連線他們的物體發生了
相互作用
，直到擺動趨於一致。這種現象被稱為
同步（synchronization）
。
三個擺動雜亂的節拍器，透過與連線它們的複雜系統相互作用，最後擺動同步。
02
當你端咖啡時，你在做什麼
當一個人端著咖啡，小心翼翼的行進時，他究竟對這杯咖啡做了什麼呢？
中學的物理影象可能會說，人給咖啡杯提供了向上的
支援力
。
但實際上，當看到自己的咖啡在杯子裡來回震盪，時刻伴隨著溢位的風險時，人們並
不會無動於衷
。（就像小時候每次看到這則《媽媽洗腳》公益廣告時，小編都會有億點點揪心——這得灑了多少水在地上啊……
《媽媽，洗腳》的廣告中，小寶貝端的水灑了出去。
正如前面鐘擺所依靠的“
第三方複雜系統
”，
端咖啡的人
在咖啡與杯子之間也充當了這樣一個角色。此時，我們需要將杯子、咖啡和手的模型進行更加詳盡的刻畫。如果將杯子裡調皮的咖啡看成一個滾動的
小球
（如下圖（a）所示），那麼進一步在物理上，杯子與咖啡便可以抽象為“手推車”與“擺”的模型——這是因為，杯子裡小球總是貼著杯壁，其與杯壁圓弧所對應的圓心距離始終保持不變，相當於有一個不可伸長的繩子將其限制住（如下圖（b）所示）。我們可以將這個組合簡稱為
“車-擺”模型
。
端咖啡的概念模型與物理模型示意圖
簡單來說，面對“想法不一致”的咖啡和杯子，人類的策略就是讓它們【同步】。
同步又分為兩種。一種是比較“激烈”的
【反相同步】
。當咖啡向
右
，趁其還未溢位時趕緊把杯子往
左
移；咖啡向左，就趕緊把杯子往右移。這樣，讓咖啡不停的在杯子裡來回震盪，只要你晃得夠快，咖啡就會被杯壁擋回來。這便是“高頻”的反相同步策略——咖啡震盪的相位和咖啡杯移動的相位總是相反。
對牆擊球時，手與球之間就是反相同步。
手和牆=咖啡杯壁，球=咖啡
相反的，另一種
【同相同步】
則更加溫柔。當咖啡要向
右
了，就讓杯子追隨咖啡的步伐，也向
右
移動——畢竟咖啡不會無限的向右移動（因為咖啡同時也向上移動，動能轉換為勢能而使速度降低），杯子移到一定的位置時咖啡也就停止向右的躁動了；當咖啡開始向左，故伎重演，讓杯子追上其向左的步伐便是，不必驚擾咖啡。在這種情況下，杯子移動的沒有那麼快，而移動的方向卻與咖啡始終保持一致，所以是“低頻”的同相同步策略。
湯姆端盤子時，身體和盤子就是同相同步。
湯姆=咖啡杯，盤子=咖啡
反相高頻和同相低頻，還可以藉助擺長與頻率的關係進一步理解。在“車-擺”模型中，反相與同相分別如下圖（a）和（b）所示。由於車一直在移動，兩種同步運動的等效擺長不同。
反相同步的等效擺長明顯小於同相同步的等效擺長
，由上一節的頻率與擺長關係可知，擺長越短，週期越小，頻率越高。因此反相同步為高頻、同相同步為低頻。
兩種同步運動的等效擺長示意圖
實際上，聰明的人類很有可能在不自知的情況下，熟練的在兩種同步模式之間
無縫切換
——僅憑
觀察力
和
直覺
，便能在端咖啡挑戰中隨機應變。但是，如果要設計端咖啡的
機器人
，我們改如何賦予它這個看起來理所應當的技能呢？
針對端咖啡的兩種同步策略進行建模計算，研究者發現，同相與反相同步之間還存在一個
【過渡區域】
。這種過渡區域是由動力學系統的
非線性
所導致的。如果機器人被設計成以相對較小的步幅行走，將對應一個較小的週期外力，這時候動力學方程可以
近似為線性
，兩種同步運動間不存在過渡區域，因此行走的頻率可以是任意的；當機器人被設計成以較大的步幅行走時，對應較大的週期外力，這時候，在同相同步與反相同步之間存在一個
不同步的過渡區
，則行走的頻率應該儘量避開這個過渡區的頻率，以免咖啡與杯子發生不同步。
大步幅vs。小步幅
03
無處不在的同步現象
除了端咖啡，同步現象無處不在：天空的飛鳥群只能知道相鄰飛鳥的情況，卻最終能實現整個飛鳥群整齊的飛行——
鳥群的同步
@Veritasium
每隻螢火蟲都有自己獨有的發光頻率，而當螢火蟲的密度大到一定程度時，他們就會同步發光——
螢火蟲閃爍的同步
我們都聽說過軍隊在橋上齊步走，會因為與橋發生共振而導致危險。但是，沒有受過訓練的旅客在橋上也可能齊步走。這是因為，每當旅客邁出一步，就會讓給橋在側向有一個微弱的力，這個微弱的力造成的橋的運動狀態的改變又會影響其他旅客的腳步，於是旅客們的步伐透過橋相互影響，最終達成了同步。
2000年6月，泰晤士河上350米長的“千禧橋”出現明顯擺動。
這些例子中每個個體都只能感受到自己附近的情況——這相對於整體來說很小；但卻能夠實現整體上的同步，這便意味著，整體不是部分的簡單加和。個體在組成整體時，因為
相互作用
的存在，會
湧現
出新的現象和規律，這些現象和規律是無法透過觀察個體發現的。這
正是
非線性
的特點
。我們都知道，在
線性
關係中，各變數間是互不相干的獨立關係，滿足
疊加原理
（整體等於部分之和）
；而非線性關係則有相互作用，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地等於部分之和，還需要考慮各部分之間的
耦合
作用
。當一個人端咖啡的時候，他便是咖啡與杯子耦合作用的來源。這也正是諾獎得主菲利普·沃倫·安德森所說的：量變引起質變（More is different）。
用線性的方式看待世界，可以讓事物變得更簡單——再大再複雜的系統，也可以分解為許多簡單個體的加和；但用非線性的方式看世界時，卻能讓事物變得更美妙——畢竟，
每天一個小壯舉，誰不愛呢
？
參考文獻
Phys。 Rev。 Applied 16， 034012 （2021） - Synchronous Transition in Complex Object Control （aps。org）
Walking with coffee is a little-understood feat of physics
Predictability， force， and （anti）resonance in complex object control | Journal of Neurophysiology
Stability and predictability in human control of complex objects： Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science： Vol 28， No 10 （scitation。org）
非線性 百科 （quark。cn）
The Surprising Secret of Synchronization - YouTube
Fireflies in the Woods relaxation meditation Natural Sounds & Music - YouTube
特別鳴謝：平平無奇小葉榕
封圖背景來源：bilibili
表情包來源：
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