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向您介紹我是誰
大家好，我是“一課研究”第三小組的學員鍾燕，來自嘉興南湖國際實驗學校，很高興與您在一課研究的微信平臺中相遇。
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聽一聽：如何解釋自然數的加減法運算
讀一讀：多元表徵，形成計算學習的內在結構——20以內退位減法單元教學為例
看一看：數學欣賞——螺旋曲線
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此內容節選自史寧中教授的《核心問題——小學數學教學中的基本概念與運演算法則》一書。
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計算學習是數學學習中學生較早接觸的內容，在小學數學課程中佔的比重比較大。20以內加減法作為整個計算學習的基礎，有著舉足輕重的地位。我們不妨來分析一下下面兩道計算題：如：54-19，它屬於100以內數的加減法，要計算這道題，我們可以把它分解成14-9=5，40-10=30，30+5=35。影響學生計算速度與正確率的，在於他對14-9的熟悉程度。再如：76×37，在這道計算題中，對於乘法口訣多數孩子都不會算錯，最容易錯的就是發生在進位加法。在做除法時，最容易發生錯誤的就是退位減法。而這一些的基礎就是20以內的進位加法與退位減法。其中20以內的退位減法，是學生在學習過程中遇到的一個難點。為了突破難點，各版本數學教材都採用了多種表徵形式來幫助學生理解算理，掌握演算法。如何藉助多元表徵，幫助學生在理解算理的基礎上掌握演算法，同時形成有利於後續計算學習的結構特徵？我們以整個單元教學為研究內容做了一些新的嘗試。
一、合理運用表徵，突出“退一當十”的位值概念。
我們現在使用的是十進位制的計數制，在一年級上冊學生學習了20以內數的認識，知道了一個十等於十個一。學習了20以內的進位加法，對“滿十進一”有一定的瞭解。20以內退位減法的關鍵是理解“退一當十”。
1。提供有結構的材料，遷移同類算理。
基於孩子的認知水平，教材中呈現了很多實物圖幫助學生理解退位減法。但是教材的圖中10的單位不清晰。我們提供或藉助以10為單位的有結構的材料，如下圖
有結構的圖和沒有結構的圖對於孩子學習退位減法的效果是不一樣的。沒有結構的材料，根據減法運算的意義求得算式的值。有結構的材料有助於退位減法算理的理解。而且以10為單位的結構有助於後續同類算理的遷移。
2。找準表徵的切入點，便於學生運用。
各種表徵都需要學生嘗試表達，學會運用。對於一年級的孩子來說，認識一種新的表徵或數學模型需要一個過程，再到運用，中間需要有重複的過程。在退位減法單元教學中，新授課我們以被減數不變，減數變化展開教學。被減數不變，不管是語言表徵，還是圖形表徵，操作表徵等，在表徵的初始階段都是一樣的。如12-3=，都是先表示出12。學生更容易找到表達的起點，並清楚路徑先做什麼，再做什麼。學生熟悉表達以後，方便運用和重複。另外，被減數不變，減數變化，更易於引起學生關注運算是怎麼發生的。
二、逐級抽象表徵，重視刻畫算理。
2011版課標把“運算能力”列入十大核心概念，強調了運算能力的重要性。然而課堂上要完成習題，習題的答案要正確，老師們在計算教學的過程中往往更在意學生計算的結果。在計算學習的初始階段，我們也需要重視學生對於運算算理的理解，發展孩子的計算思維，從而為後續的計算學習打下紮實的基礎。
1。關注學習的最佳時間，強化重點內容。
現行教材更強調算用結合，確實算用結合的推行有著非常積極的意義，但同時也發現課時容量往往偏大。如北師版第二冊第一單元20以內退位減法的第一課“買鉛筆”。
先呈現問題情境，學生解讀數學資訊，提出數學問題，根據數學問題列出算式15-9=。再討論交流15-9的多種演算法。然後藉助擺小棒，撥計數器等模型理解算理。這樣一個過程下來，只一道題預計教學時間就會超過20分鐘。在前一個環節沒有理解鞏固的情況下，匆忙進入下一個環節，計算教學容易存在蜻蜓點水走過場的現象。一年級學生本身注意力相對不集中，注意持續時間相對較短。根據這些現狀，在20以內退位減法的單元教學中，我們更需要每節課中，在最佳時間內強化重點學習內容。基於這樣的考慮，我們把單元新授內容重新進行了釐定，如下表。
以上每課時的重點內容集中在前20分鐘教學，後20分鐘進行相應的練習。可以讓計算方法交流更充分。學生對於表徵的理解更紮實。
2。同種模型適度反覆。
在一個課時中，老師們常會運用兩種或兩種以上模型來突顯算理。但是因為模型多樣以後，受時間和學生接受程度的限制，每一種模型在運用的時候，學生經常性地處於一種模仿的階段，而缺少內化的過程。不利於學生充分掌握模型的運用方法，從而深入理解退位減法的算理。我們的設計在單元教學的前面幾節中，每節課都側重一種模型表達方式。教學環節中有相似的流程。每一種方式的學習都主要經歷了以下幾個階段：過程表述——具體操作——集體性圖式——自我化圖式。
3。逐級提高表徵的抽象化水平。
在學習20以內退位減法中，運用的表徵形式主要有動作表徵（擺小棒、圈圖形、撥計數器）、表象表徵（回憶操作過程中，用圖式表示出來）、語義表徵（說算理）、符號表徵（用分解算式表示）等。從課時來看，每節課中都運用到動作表徵、表象表徵、語義表徵、符號表徵。使用順序上不盡相同，也會有重複，但基本上遵循從簡到難的過程。從單元序列來看，小棒、計數器和數線，三種主要模型的運用依據由直觀逐步走向抽象的順序。結合使用，逐級提高，豐富並發展了學生對於算理的理解，同時也使得學生的思維變得更加的多元。
三、貫通多種表徵，形成符合學生認知的網狀結構。
好的表徵素材是決定學生數學學習活動質量，提高課堂學習效率的重要因素，也是貫穿學習活動的線索。但是表徵本身作為一種意義理解的輔助形式，並不具備很大的學習意義。如果能使多種表徵形成相應的結構特徵，使其具有更大的學習價值，並能為後續同類知識的學習起強大的支撐作用。
1。思維在前，促進表徵的結構化生成。
思維的產生不可能透過表徵，所以在每一個具體的表徵方式之前，都需要學生有獨立的思考。如在單元第一課時的探索12-3=9的算理環節：
【思考】為什麼12-3=9是對的？你是怎麼解出來的？
【提出操作要求】下面請同學們從學具袋中拿出12根小棒，拿好了放好，看哪個同桌最快。
想一想，12-9你是怎麼做的？（先想不動）12根裡怎麼拿掉3根，你準備怎麼拿？
思考在前，學生可以產生各種不同的方法，不受制約。同時，思考後的動手錶徵可以促進學生對於方法的理解，可以固化思維方式。動作帶思維，可以讓思維更深刻。思維引領操作可以促進表徵的結構化生成。
2。同一種思考方式，縱向聯結多種表徵。
每一種表徵方式雖然有各自的外在表現形式和特點，但多種表徵方式之間內在並不是割裂的。就20以內退位減法而言，如13-5=主要有三種思考方式：一是想加算減，想5+（8）=13，所以13-5=8；二是“平十法”，先把5分成3和2，用13-3=10，10-2=8，所以13-5=8；三是“破十法”，13分成10和3，10-5=5，5+3=8，所以13-5=8。想加算減，更多的依存加減運算的互逆關係。而後兩種方式，每一種思考方式都在不同的課時中，藉助了不同的數學模型和表徵方式。同一種方式的不同表徵，抽象程度逐級提升，而表徵之間其實又有緊密的聯絡。實現表徵之間的內在溝通，可以促進學生認識計算方法的本質。如單元第五課時的設計，我們在這節課中，對前面幾節課的學習內容進行了梳理，感受用圖形、計數器、數線、算式都可以來解決退位減法。並能聯絡多種表徵，溝通20以內退位減法的算理與演算法。課堂伊始，丟擲一個問題“想一想15-7怎麼算，你有什麼好辦法？” 喚醒學生前期積累的活動經驗。教師引領學生在自我嘗試，集體交流互動中，把多種表徵融會貫通，並以直觀、排版清晰的板書統領整節課。如下圖：
計算教學中，多元表徵能夠幫助學生從具體到抽象地認識運算的本質，學生嘗試表徵，嘗試分享自己的表徵資訊的同時，也促成了自我反思、自我調整，在互相學習、自我內化的過程中完善自己的內部表徵，從而有效地把握計算學習的關係結構模式。多元表徵所產生的形象直觀的思維方式，和簡潔有效的思維結構，使得學生在學習新的同類型知識的時候，能夠快速地啟用原有的知識塊，提高學習效率。
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稽核人： 範世偉 梅志強