幾何概型和古典概型是隨機機率中兩類主要模型，是機率考查中的重點，下面就幾何概型的知識與常見題型做一梳理，以期能使讀者對於這一知識點做到脈絡清晰，條理分明。
一 基本知識剖析
1.幾何概型的定義
：如果每個事件發生的機率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的機率模型為幾何機率模型，簡稱幾何概型。
2.幾何概型的機率公式：
3.幾何概型的特點
：
1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．
4.幾何概型與古典概型的比較
：一方面，古典概型具有有限性，即試驗結果是可數的；而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區域長度（或面積、體積等）有關，即試驗結果具有無限性，是不可數的。這是二者的不同之處；另一方面，古典概型與幾何概型的試驗結果都具有等可能性，這是二者的共性。
透過以上對於幾何概型的基本知識點的梳理，我們不難看出其要核是：要抓住幾何概型具有
無限性
和
等可能性
兩個特點，無限性是指在一次試驗中，基本事件的個數可以是無限的，這是區分幾何概型與古典概型的關鍵所在；等可能性是指每一個基本事件發生的可能性是均等的，這是解題的基本前提。因此，用幾何概型求解的機率問題和古典概型的基本思路是相同的，同屬於
“比例法”，即隨機事件A的機率可以用“事件A包含的基本事件所佔的圖形的長度、面積（體積）和角度等”與“試驗的基本事件所佔總長度、面積（體積）和角度等”之比來表示。下面就幾何概型常見型別題作一歸納梳理。
二 常見題型梳理
1.長度之比型別
例1
。 小趙欲在國慶六十週年之後從某車站乘車外出考察，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求小趙等車時間不多於10分鐘的機率．
分析：
因為客車每小時一班
，而小趙在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的， 所以他在哪個時間段到站等車的機率只與該時間段的長度有關，而與該時間段的位置無關，這符合幾何概型的條件，且屬於幾何概型中的長度型別。
解析:
設
A={等待的時間不多於10分鐘}，我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位於［50，60］這一時間段內，而事件的總體是整個一小時，即60分鐘，因此，由幾何概型的機率公式，得P（A）= （60-50）/60=1/6
，即此人等車時間不多於
10分鐘的機率為1/6
例2
在長為
12cm的線段AB上任取一點M，並以線段AM為邊作正方形，求這個正方形的面積介於36cm
2
與
81cm
2
之間的機率．
分析：
正方形的面積只與邊長有關，因此，此題可以轉化為在
12cm長的線段AB上任取一點M，求使得AM的長度介於6cm與9cm之間的機率．
解析：
記
“面積介於36cm
2
與
81cm
2
之間
”為事件A，事件A的機率等價於“長度介於6cm與9cm之間”的機率，所以，P（A）= （9-6）/12=1/4
小結：本例的難點不是在於幾何概型與古典概型的區別，而是將正方形的面積關係轉化為邊長的關係，從而將問題歸為幾何概型中的長度型別，這是本例的關鍵之處。同時又體現了數學上的化歸思想的作用。
2.面積、體積之比型別
點評：本小題中的試驗結果是區域中的部分點集，其結果是不可數的，屬於幾何概型中典型的面積之比。
3.角度之比型
小結：“會面”型別常見的載體是兩人相約見面、輪船停靠泊位等，其關鍵是構建相遇的不等式（組），藉助於線性規劃知識，將其面積之比求出，使得問題得以解決。
5.與其他章節知識綜合類
點評：將方程的根、線性規劃問題以及機率知識等問題有機地結合在一起，注重在知識的交匯處命題，是近年來高考的命題趨勢。本題設計新穎，考查綜合。
以上，和大家共同探討了幾何概型常見題目中最為典型的五種型別題目，即長度之比型別、面積（體積）之比型別、角度之比型別、會面問題型別和綜合類型，不管解決哪種型別問題，其關鍵都要選擇適當角度，使基本事件轉化為與之對應的總體區域，所求問題轉化隨機事件對應的子區域，然後代入公式進行計算求解。這其中特別要注意分析清楚，試驗的基本事件應該屬於與長度（包括時間長度）、面積（體積）還是角度等，這樣才能尋到正確的解題方向，避免出現錯誤。
變式練習：
（
1）．已知某地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達站臺立即乘上車的機率。
（
2）．某地原來每兩支路燈間相距60m，為改善照明狀況，加快新農村建設的步伐，決定在兩支之間再添一支，求新添的一支燈與兩端的距離都大於20m的機率．
變式練習答案
：
：
（
1）記“乘客到達站臺立即乘上車”為事件A，由幾何概型知，所求事件A的機率為P（A）= 1/11
；
（
2）記“燈與兩端距離都大於20m”為事件A，由幾何概型知，所求事件的機率P（A）= 20/60=1/3
．
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