人類對邏輯的理解有著悠久而豐富的歷史。在過去，邏輯被視為與所有其他形式的研究密不可分，從亞里士多德到孔子的偉大思想家，在他們的論證中都非常依賴基本的邏輯推理。在歐洲，亞里士多德提出的邏輯論證在大多數情況下，直到16世紀都沒有受到挑戰。

是萊布尼茨首先開始繼續亞里士多德的工作。在1680年代，他研究了自己的符號邏輯形式，他稱之為“理性的微積分”。然而，他的研究直到1900年仍未發表，因此影響不大。其他許多人也試圖超越亞里士多德所做的工作，但卻沒有取得什麼成功。

德-摩根（左）和喬治-布林（右）。直到19世紀，喬治-布林（你可能透過布林變數認識他）和奧古斯特-德-摩根的出現（以及其他許多人）。這兩個人精心設計的代數邏輯系統，在數學和哲學界獲得了巨大的吸引力。

使用這種新的邏輯系統，就有可能正式表述以前的學者們所提出的許多理論。這正是德-摩根在正式確定德-摩根定律時所做的。這兩條法則早就已經被亞里士多德等人所認可，但德-摩根能夠使它們變得嚴謹而具體。

在這篇文章中，我將從集合論的角度來介紹德-摩根的法則，它們在形式邏輯中也有相同的對應物。首先，讓我們定義幾個基本符號。

我們可以把一個集合A定義為一個物件的集合。A的實際內容在這裡並不重要，只是它是一個集合，每個物件要麼在A中，要麼不在。這些物件也是U的一部分，即全集，它包含一切。請注意下面的圖1，U中有些物件不包含在A中，但A中的每個物件都在U中。

圖1：U中的集合A（灰色陰影）。那麼，不在A中的所有物件呢？為了表示這一點，我們用A‘來表示。這被稱為A的補集。我在下面的圖2中展示了這一點。

圖2：集合A’（有一撇，如果沒有顯示）（灰色陰影）。只需要再定義兩個符號。如果有兩個集合A和B，那麼我們可以用兩種運算將它們聯絡起來：和（∩）和或（∪）。

表示式A∩B描述了只存在於兩個集合（A和B）中的物件，而A∪B則描述了A中的所有物件以及B中的所有物件（A或B）。這可能讓人困惑，看看圖3就明白了

圖3：A∪B（左）和A∩B（右）。很好，現在我們可以陳述摩根定律了。它們是非常簡單的

這些都可以用集合論的語言來正式證明，但我不會在這裡證明。相反，我向你提出挑戰，請你畫一個與我所介紹的類似的圖，並推理這兩個等式都是成立的。

這些定律是簡單推理的形式化表示，是邏輯學中一個重大轉變的代表，即走向符號（形式）。布林和德摩根都是這一轉變的關鍵人物，他們幫助定義了邏輯領域今天的面貌。如果你想了解這些定律在邏輯上的含義。