《關於人教版七年級上冊第100頁工程問題命題探究》

一 摘要

剛剛步入七年級的學生，抽象事物的理解能力不足，無法理解文字語言和符號語言之間的轉化，再加上數學的文字語言又是高度抽象的，閱讀能力的培養的目的就是為了解決實際問題，增加學生的理解高度，高於教材，培養學生形成居高臨下的意識，最根本的原因是抓不住最簡單的東西，本文就是教會學生用最簡單的方法處理複雜的問題，達到以簡馭繁目的。

關鍵詞： 抽象性 閱讀能力 以簡馭繁 特殊與一般

前言：

首先 新初一的學生遇到應用題幾乎無從下手，能做出來的也就是班級的幾個優生，不足10人，恰好今年我帶七年級，我覺得我的課題研究就選擇《初中數學應用題共性研究》為主題，做了一個校級小課題，一線教師也不知道對於應用題應該如何去教學教研，初一的學生也不知如何去學，如何去書寫，最關鍵是不知道如何分析，對於高度抽象的數學問題也無法理解，盲目的讀題，最後做出來的卻是五花八門，以此面對的問題為背景，特意對七年級上冊教材第100頁中的例題做一個共性的分析，尋找一般性的東西，解決教師和學生老大難的問題。

二 教材例題分析

例題1

整理一批圖書，由一個人要做40h完成，現計劃由一部分人先做4h，然後增加2人與他們一起做8h，完成這項工作，假設這些人的工作效率相同，具體先應該安排多少人工作？

分析：題目中已知條件有哪些，一批圖書代表什麼，這麼多時間該怎麼用？人均效率是多少？ 隱藏的已知條件是什麼？等量關係該如何建立？

這麼多問題，我們該優先處理哪些問題呢？必須先把處理問題順序弄清楚，才能完成接下來的步驟，最終得到答案。

此題抽象的數學語言，一部分人，一批圖書，還有隱藏的已知條件

工作總量=工作效率x工作時間，這個等量關係是怎麼來的，小學時候只是死記硬背的同學多一點，抽象的東西具體化，又要把具體的量抽象化，這是考考察學生良好的數學素養下面我們一起來分析下，工程問題究竟有何一般性法則處理這樣的問題，從小學我們就接觸了工程問題，效率是什麼呢？

最開始只有工作總量和工作時間，我們定義：工作效率=工作總量÷工作時間，所以說工作效率是間接定義出來的，如果我們用W表示工作總量，T表示工作時間，P表示工作效率，我們就能得到P=W÷T，即單位時間完成的量，三個量我知道任意2個量，都可以求第3個量，這道題目中的W是什麼，是一批圖書，定義為單位1，工作時間40h，工作效率是1/40，這樣可以計算出一個人完成的工作效率，一小時完成總量的1/40，分成兩部分去完成，第一部分和第二部分

那麼第一部分完成多少呢？第二部分又是完成多少呢？

下面我麼先看，第一部分：

工作量1

=4*（1/40）*人數。

工作量2

=8*（1/40）*（人數+2）工作量1+工作量2=1，即完成全部工作單位1，可列方程：

解：設先按來X人工作

4*（1/40）*x+8*（1/40）*（x+2）=1

解得x=2

答；應先安排2人參加工作

梳理主線：本題工程問題共有幾條主線，共計一條主線工作總量恆定，單位1，只是把工作總量分成若干部分去完成，要嚴謹的表示出各部分工作總量1。2。3。。。。n

然後就可以利用： 工作總量1+工作總量2+工作總量3+。。。。。工作總量n=1來解決問題，在這個主線下我們應該可以解決所有的工程問題，用魚骨圖表示如下：

那麼我們就找到了解決工工程問題的一般性方法，即通法，讓數學不在難，讓學生用最簡單的辦法來做最複雜的題目，達到以簡馭繁的目的。

例2

（中山市2021七下期末考試第23題）

題目：完成一項工作，一個工人需要16天才能完成，開始安排幾個工人做1天后，又增加1人和他們一起做2天，結果完成了這項工作的一半，假設每個工人的工作效率相同。

（1）開始安排了多少個工人？

（2）如果要求再用2天做完剩餘的全部工作，還需要再增加多少個工人一起做？

分析：這道題的主線是什麼，很顯然是單位1問題，抓住主線我們就抓到了等量關係，主線即等量關係，其他的都是魚骨上的小零件，即主線的一部分，接下來在找小零件，第一問共分成幾部分完成，也就是說有幾個小零件呢？1天后就是一個節點，兩部分，我們先看第一部分工作量1=1/16*1*人數，第二部分工作量2=1/16*（1+人數），按照魚骨圖我們可以得到如下等量關係：工作量1+工作量2=1/2，設先安排X人工作

1/16x*1+1/16*2（x+1）=1/2

解得x=2

答：應先安排2個工人。

很顯然在第一問基礎上，要完成剩餘的一半，工作總量是，還是完成一份工作，

工作總量=工作效率x工作時間x人數，在第二個問題裡面，只有一個魚骨零件需要完成，

則設還需要增加m人，可列1/16*2（m+3）=1/2，解得m=1，

在以上的兩各例題中，我們是否發現處理工程問題的共性，即一般方法呢？只要是工程問題，就一定有一個主線讓我們去抓，抓住主線九抓住一切可能，利用魚骨圖，保證不要有漏網之魚，把每一部分用我們學過的整式加減，來表示相關的量，不管我們怎樣計算，都是兩項相乘，工作量=工作效率X工作時間，一定是兩項相乘，也就是說我只要會搞定

兩項相乘

基本其他的夠搞定了，這樣方程我就很容易的列出來了，之後就是解方程的事了，這樣下來又回到了我們第二章學的內容，整式加減，數字與字母相乘，字母與字母相乘。達到以簡馭繁的目的，水到渠成，讓學用最簡單的方法解決最難的數學問題，這就是我寫這篇論文的目的所在。

總結歸納：對於工程問題，抓住主線（小學學習的內容）對於例1和例2，兩者之間有共性也有個性，共性就是都已以單位1位主線，魚骨圖就是最恰當的比喻，兩個題目又有各自的特點，即個性，例1是一次完成了所有的工作，而例2 是一次只完成了總工作量的一半，其他的都是一樣的，那我們就會思考會不會完成總工作量的3/4，4/5呢，我想一定要讓學生把這個問題弄清楚，正如章博士所說，“知其然，也要知其所以然”，這樣才會學真數學，求真務實是最基本的數學素養。

三 學以致用

針對於上面我們總結的一般性法則：

主線+零件+整式或分式的加減=解決工程問題的法寶

我們就以一道中考模擬題為例（2020年廣東揭陽市空港一模）

甲乙兩公司參與一項治理大氣汙染的工程，如果兩公司合作，12天可以完成，如果兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用的時間是甲公司的1。5倍。

（1）若甲、乙兩公司單獨完成此項工程各需要多少天？

（2）已知這項工程甲、乙兩公司合作需要付施工費102000元，乙公司每天的施工費比甲公司的施工費每天少1500元，若讓一個公司單獨完成這項工作，選擇哪個公司所需施工費較少？

①解：設甲公司單獨所用x天完成，乙公單獨需要1。5x天完成，主線很清楚就是魚骨圖單位1的問題，效率甲，效率乙，等量關係為零件1+零件2=1

根據題意：可列方程

12*1/x+12*1/1。5x=1

解得x=20

答：甲單獨需要20天，乙單獨完成需要30天

②分析這道題目必須算出甲和乙單獨完成需要施工費多少錢，不妨設乙施工一天費用m元，甲公司完成一天施工費用是（m+1500）元

可列方程：

12*m+12*（m+1500）=102000

解得m=3500

乙的費用是3500元，甲的費用是3500+1500=5000元

所以甲單獨完成所需總費用20*5000=100000元

乙單獨完成所需總費用30*3500=105000元

答；選擇甲公司單獨完成較為合適，用的費用較少。

以上這道題雖然考察的也是工程問題，但是超出了初一學生的範圍，分式的表達對於他們是陌生的，但是經過我的講解，我發現課堂上90%的學生是可以列出來的，只是不會解，經過解一元一次方程的方法引導，我發現仍然是有一部分學生能解出未知數的值來的，所以學生加以引導和總結歸納，掌握基本處理問題的法則，即處理問題的一般性，學生是發展的人，學生的思維是獨立於老師之外的，不移教師的意志為轉移，但是我們可透過一般方法的引導，讓他們領會變數之間的關係，不管怎麼變，主線永遠不變，研究套路永遠不變，變的只是一些小零件而已，基本量在變化，最終我們還是達到以簡馭繁，用最簡單的方法解決最難的題目。

總結；透過以上經驗的總結，研究方法的總結，我們不但要求學生在工程問題中有自己的研究方法，在利潤，配套問題等是否也有一條主線呢？是否也有一般性的規律呢？值得耐人尋味，讓學生學會舉一反三，最終他們會獲得一些基本活動經驗，愛上數學，同時我們也發現在初一的數學思維的培養過程中，一般方法對於初二上學期的分式方程的解決也有一定的遷移作用，前面講得好，後面的事就會非常容易，一定是處理個性問題，用一般去指導特殊，用特殊去歸納一般，二者相互影響，需要靈活處理，這就是數學最重要的思想，歸納和演繹推理。

參考文獻

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